解決痛點 

如果 x 是有限域中的一個元素，則 x 的跡函數 Trx 定義如下：               Trx=x+x2+x22+…+x2n-1

我們的專利是用最簡單求得跡函數值的做法：例如，對於有限域中一個8位元的元素 (n=8)：

γ=a0+a1α+a2α2+a3α3+a4α4+a5α5+a6α6+a7α7

求跡函數值 Trx，下面是目前的做法和我們的做法的比較：

式子越複雜，硬體實現需要越多元件，則耗能越多，費時也越多。

 技術簡介 

所有手機中（或是電視、電腦螢幕上）看到的文字、圖片、照片、影片，聽到的聲音、音樂，都是透過數位科技來處理的（或者簡單地說，都是與一串0，1位元有關）。而有限域理論（有限域）是數學中用來處理0，1位元的重要理論，有限域在編碼、密碼、通信等應用中扮演著重要角色。而且在量子科技應用中也有用到。
在有限域的相關應用中，跡函數（Trace function）是一個重要的函數，在編碼、密碼、通信等的相關應用中都有應用。

▲圖說：跡函數的應用

 應用案例 

1. 編碼理論中的實際應用

• 例子：在BCH碼、Reed–Solomon碼、Goppa碼等的構造中，跡函數常用於定義校驗方程。
• 工業落地：
  • 存放裝置（如CD/DVD、藍光、SSD）中使用的改錯碼（ECC）底層可能利用跡函數來構造有限域上的線性方程組。
  • 衛星與深空通信的改錯碼標準（NASA、ESA）中，有些構造公式中直接使用了跡映射。

2. 密碼學中的實際應用

• 例子：在某些流密碼（stream cipher）和區塊編碼器（block cipher）的S盒設計中，跡函數用於：
  • 將擴域 GF(2n) 元素映射到基域 GF(2)
  • 構造具有良好非線性性質的布耳函數。
• 工業落地：
  • AES 的S盒雖然主要基於逆元和仿射變換，但一些羽量級加密演算法（如某些物聯網加密協議）在S盒或混合層中直接用跡函數構造映射。
  • 橢圓曲線密碼（ECC）中某些曲線族（尤其是Koblitz曲線）的快速點乘演算法中用跡函數判別某些元素性質（例如 Frobenius endomorphism 加速）。

3. 通信系統中的應用

• 例子：在擴頻通信（Spread Spectrum）、M序列和Gold序列構造中，跡函數被用來生成偽隨機序列（PN序列）。
• 工業落地：
  • GPS衛星導航系統中使用的偽隨機碼有的構造公式裡包含跡函數。
  • 5G NR標準的某些序列生成演算法（如Zadoff–Chu序列的參數生成）裡有基於跡映射的有限域操作。

總結：

• 跡函數在這些工業應用中是幕後數學工具，它不會直接出現在用戶看到的標準名稱裡，但會出現在協定、晶片設計或編碼構造的底層公式中。

它的實用性已經被證明，並且在改錯碼、密碼演算法、偽隨機碼生成等工業系統中持續使用。

 相關連結 

無

 專利名稱證號 

應用單項跡之錯誤更正方法 I742371

 技術產學合作或技轉單位 

無

 獲獎紀錄 

無

 技術聯絡人 

義守大學 黃育輝經理

連絡電話：07-6577711 ext. 2194

聯絡信箱：yuhuihuang@isu.edu.tw